[질문-폭풍속으로]
영국의 정수론 학자 엔드루 와일즈가 타니야마-시무라의 추론(현재는 증명이 되었으니까 정리라는 표현이 옳을 것 같습니다)을 증명함으로서 페르마의 마지막 정리를 증명하였습니다.
타니야마-시무라의 추론은 [모든 타원곡선은 하나의 모듈형태에 대응한다]입니다.
여기서 말하는 타원곡선은 말그대로의 타원곡선이 아니고 정수론의 한 분야라고 하던데요, 타원곡선에 대해서 알고 계신분이 있으면 간단해도 좋은니까 설명을 부탁드립니다.
또 모듈형태라는 것이 정수론의 분야는 아니지만 타원곡선과 관계가 있다고하니까 모듈형태에 대해서도 가르쳐주시면 감사하겠습니다.
[답변1. by add1 님]
모듈 형태란 그림으로 표현할 수 없습니다. 상상할 수도 없는 존재구요. 모듈 형태 역시 두개의 기준축상에서 정의되긴 하지만 각각의 축에는 실수가 아닌 복소수가 대응되요. 즉 축상의 한 점에 대응되는 수는 실수부와 허수부를 모두 갖고 있는겁니다. 모듈 형태는 두개의 복소수 축이 만드는 평면 중 위쪽 상반부에서만 정의됩니다. 하지만 두개의 복소수 축이 만드는 공간은 네 개의 좌표 x, y, x허수부, y허수부 에 의해 정의되므로 4차원의 공간이기 때문입니다. 이 4차원 공간을 하이퍼볼릭 공간이라구도 부르는데여. 우리가 3차원 공간만 인식하면서 살기 때문에 이 공간이 4차원이라는 것을 간과하고 있구요. 수학적으로 우주는 분명히 4차원이죠. 모듈 형태는 병진대칭, 교환대칭, 반전대칭, 회전대칭 등.. 대부분의 변환에 대하여 대칭성을 갖고 있구여. 하이퍼볼릭 공간에 존재하는 모듈 형태는 다양한 형태와 크기를 갖고 있지만 이들 모두는 동일한 기초에서 형성된 거죠. 이 구성 요소는 1부터 무한대까지 m1,m2,m3,m4... 등으로 표현되구여. 첫번째 구성 요소가 1개이면 m1=1 두번째 구성요소가 3개이면 m2=3 가 되져.. 모듈 형태의 구조를 설명해 주는 이 갑들을 나열해 놓은 급수를 모듈 급수라고 해여. 즉, m급수라고 하죠. 모듈 급수에 나타나 있는 구성요소를 변화시키면 동일한 대칭성을 가지면서도 완전히 다른 모듈 형태를 만들어낼 수 있거나 아예 대칭성을 완전히 잃어버려 더 이상 모듈 형태가 아닌 새로운 대상을 만들어낼 수 있다네여. 모듈은 타원방정식과는 연관이 없다구 믿어왔다는군여. 타원방정식은 대칭성과는 아무런 관계가 없기 때문이에여. 모듈과 타원은 둘 다 수학이지만 분야가 너무도 판이하게 달라서 둘 사이에 모종의 관계가 있을 것이라는 사람은 없었다구해여. 아시겠지만 타니야마 시무라의 추론은 그러한 발상을 뒤집는.. 타원방정식과 모듈 형태가 근본적으로 동일하다는 내용이었져.. 타원방정식과 타니야마 시무라의 추론이 왜 정수론에 나오느냐.. 제생각이지만. 페르마의 정리의 증명과정이기 때문이라생각합니다. 써놓구도 무슨말인지 잘모르겠네여. 제가 부족하기땜쉬.. 나름대로 모듈을 이해하시는 분들은 답글 적어주심 감사하겠네여. 더 알고싶네여
[답변2. by 형세 님]
http://www.math-atlas.org/welcome.html
이곳을 방문하셔서 14H52의 elliptic curves 를 검색해 보십시오. 그리 도움이 되지는 않겠지만 아쉽게나마 궁금증을 해결하실 듯 합니다.
혹시 reference라면 UTM에서 나온 Tate의
"Rational points on elliptic curves"를 보십시오. 이 분야에서 학부수준의 대수로 볼 수 있는 유일한(?)책이지 않을까 싶습니다. 쉬우면서도 깊은 내용까지 다루었습니다.
출처 : http://cafe323.daum.net/_c21_/bbs_search_read?grpid=KKzs&fldid=Fy6u&contentval=00027zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz&nenc=&fenc=&q=&nil_profile=cafetop&nil_menu=sch_updw |
